|
المسألة
|
معادلة فيها y' ( x, y, y'
)
|
|
الحل
|
معادلة فيها ثابت
( x, y,
c )
|
طرق الحل :
1. Separation.
2. not Separation.
3. Homogeneous.
4. not Homogeneous.
5. Exact.
6. not Exact.
7. Linear.
8. not Linear.
|
Not Separate
إذا وجد مقدار
واحد x,
y بالجمع والطرح نفرض المقدار بـ z ونحلها separation
|
Separate
لوكانت x, y بالضرب والقسمة بدون جمع وطرح نفصل ونكامل x//y ( y' )
|
|
Not Homogeneous
a1x + b1y
+ c
y' = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
a2x + b2y
+ c
ليها حالتين
1- Parallel.
a1/b1
= a2/b2
we
set
a1x
+ b1y = z
or
a2x
+ b2y = z
وهاتتحول لـ separable
2- Intersection.
a1/b1
≠ a2/b2
هانحل المعادلتين
ونجيب نقطة التقاطع (h , k)
ونحط
x = t + h
y = s + k
dy/dx = ds/dt
وهاتتحول لمعادلة homogeneous
|
Homogeneous
إذا كانت كل
الحدود من نفس الدرجة أو على صورة y/x نفرض
y = xv
y' = xv' + v
لازم تختفي x من الطرف الأيمن بعد التعويض هاتتحول المعادلة الى
separable
|
|
Not Exact
Mdx + Ndy = 0
My ≠ Nx
نحسب عامل مكاملة μ
بأحد الطريقتين
My – Nx
ـــــــــــــــــــــــــــــ
= x
N
أو
My – Nx
ـــــــــــــــــــــــــــــ
= y
M
= e∫xdxμ
أو
= e-∫ydxμ
μ( المسألة ) = 0
exact
|
Exact
المسألة
Mdx + Ndy = 0
شرط الـ exact
My = Nx
الحل
∫Mdx + ∫Ndy = c
في حدود التكامل
نختار
(xo , yo) = (0 , 0)
أو (1 , 1) في
حالة وجود lnx أو 1/x
نعوض قبل التكامل
في N عن كل x
بـ xo أو العكس
|
|
Not Linear(Bernoulli)
y' + Pdx = q(x)yn
بالضرب في y-n ونفرض التغير
في y بـ z
ونفاضله نحصل على
التغير في y' ونحلها linear
في z
|
Linear
y' + P(x)y = q(x)
هانحسب
= e∫Pdx μ
الحل
My
= ∫ μ q dx
+ c
|
